На сторонах угла BAC и на его биссектрисе отложены равные отрезки AB, AC и AD. Величина угла BDC равна 160°. Определите величину угла BAC.

Решение:

Пусть AB = AC = AD = x. Также, поскольку AD является биссектрисой угла BAC, то угол BAD = угол CAD. Пусть этот угол равен α.

В треугольнике ABD, AB = AD = x, значит, он равнобедренный. Угол ABD = угол ADB.

В треугольнике ACD, AC = AD = x, значит, он равнобедренный. Угол ACD = угол ADC.

Угол BDC = угол ADB + угол ADC = 160°.

В треугольнике ABD, сумма углов равна 180°: угол BAD + угол ABD + угол ADB = 180°.

α + 2 * угол ADB = 180° => угол ADB = (180° - α) / 2 = 90° - α/2.

В треугольнике ACD, сумма углов равна 180°: угол CAD + угол ACD + угол ADC = 180°.

α + 2 * угол ADC = 180° => угол ADC = (180° - α) / 2 = 90° - α/2.

Теперь подставим это в уравнение для угла BDC:

угол ADB + угол ADC = 160°

(90° - α/2) + (90° - α/2) = 160°

180° - α = 160°

α = 180° - 160°

α = 20°.

Угол BAC = угол BAD + угол CAD = α + α = 2α.

Угол BAC = 2 * 20° = 40°.

Ответ: 40