В треугольнике А ВС угол А ВС равен 120°, АВ = BC, BM- медиана. На луче ВМ отметили точку № такую, что ∠BAF = 90°. Найдите А В, если FM = 45. Ответ:

Решение:

• Так как \(AB = BC\), треугольник \(ABC\) – равнобедренный. \(BM\) – медиана, проведенная к основанию \(AC\). Следовательно, \(BM\) – биссектриса и высота, а угол \(ABM\) равен половине угла \(ABC\): \[\angle ABM = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ\]
• Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABF\). В нём угол \(BAF\) равен 90°, а угол \(ABF\) равен 60°. Тогда угол \(AFB\) равен: \[\angle AFB = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\]
• В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Значит, \(AB = 2 \cdot FM = 2 \cdot 45 = 90\).

Ответ: 90