262 В треугольниках АВС и А,В,С, углы А и А1 - прямые, BD и В₁D₁ - биссектрисы. Докажите, что ДАВС = ∆ А1В1С1, если ∠B = ∠B₁ и BD = B₁D1.

Рассмотрим прямоугольные треугольники ABC и A₁B₁C₁, где \(\angle A = \angle A_1 = 90^\circ\), BD и B₁D₁ — биссектрисы, \(\angle B = \angle B_1\) и BD = B₁D₁.

1) Так как BD и B₁D₁ — биссектрисы, то

$$\angle DBC = \frac{1}{2} \angle B$$ $$\angle D_1B_1C_1 = \frac{1}{2} \angle B_1$$

Так как \(\angle B = \angle B_1\), то \(\angle DBC = \angle D_1B_1C_1\).

2) Рассмотрим треугольники BCD и B₁C₁D₁. BD = B₁D₁ (по условию), \(\angle DBC = \angle D_1B_1C_1\), \(\angle D = \angle D_1 = 90^\circ\). Следовательно, треугольники BCD и B₁C₁D₁ равны по гипотенузе и острому углу.

3) Из равенства треугольников BCD и B₁C₁D₁ следует, что \(\angle C = \angle C_1\).

4) Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁. \(\angle A = \angle A_1 = 90^\circ\), \(\angle B = \angle B_1\), \(\angle C = \angle C_1\). Следовательно, данные треугольники подобны по трём углам.

5) Так как \(\angle B = \angle B_1\) и \(\angle A = \angle A_1 = 90^\circ\), то BA = B₁A₁ (соответствующие стороны в подобных треугольниках). Следовательно, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Ответ: доказано, что \(\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1\), если \(\angle B = \angle B_1\) и BD = B₁D₁.