В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, ∠A = ∠A₁. На сторонах AB и A₁B₁ отмечены точки P и P₁ так, что AP = A₁P₁. Докажите, что △BPC = △B₁P₁C₁.

Так как \(AB=A_1B_1\), \(AP=A_1P_1\), то после вычитания равных отрезков получаем \(PB=P_1B_1\).

Треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) равны по двум сторонам и углу между ними: \(AB=A_1B_1\), \(AC=A_1C_1\), \(\angle A=\angle A_1\). Поэтому \(BC=B_1C_1\) и \(\angle ABC=\angle A_1B_1C_1\).

Поскольку точки \(P\) и \(P_1\) лежат на сторонах \(AB\) и \(A_1B_1\), углы \(PBC\) и \(P_1B_1C_1\) равны углам \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\), то есть равны. Следовательно, треугольники \(BPC\) и \(B_1P_1C_1\) равны по двум сторонам и углу между ними.