В треугольник МПК вписан ромб MDEF так, что вер- шины D, Е и F лежат соответственно на сторонах MN, NK и МК. Найдите отрезки NE и ЕК, если MN=7см, NK=6 см, МК=5см.

Пусть NE = x, тогда EK = 6 - x. Так как MDEF - ромб, то MD || EF и MF || DE. Следовательно, треугольники NEF и MDN подобны, а также треугольники KDE и MKF подобны.

Из подобия треугольников NEF и MDN следует:

$$\frac{NE}{MD} = \frac{NK}{MK}$$

Так как MD = MF (стороны ромба равны), и DE = MF, то MD = DE. Пусть сторона ромба равна a.

Из подобия треугольников NEF и MKN имеем:

$$\frac{NE}{MN} = \frac{EF}{MK}$$

$$\frac{x}{7} = \frac{a}{5}$$

$$a = \frac{5x}{7}$$

Из подобия треугольников NEF и MKN следует, что треугольники NEF и KDE подобны, поэтому:

$$\frac{NE}{EK} = \frac{MD}{DK}$$

Так как MD = a, и DK = MK - MD = 5 - a,

$$\frac{x}{6 - x} = \frac{a}{5 - a}$$

Подставим $$a = \frac{5x}{7}$$ в это уравнение:

$$\frac{x}{6 - x} = \frac{\frac{5x}{7}}{5 - \frac{5x}{7}}$$ $$\frac{x}{6 - x} = \frac{\frac{5x}{7}}{\frac{35 - 5x}{7}}$$ $$\frac{x}{6 - x} = \frac{5x}{35 - 5x}$$ $$x(35 - 5x) = 5x(6 - x)$$ $$35x - 5x^2 = 30x - 5x^2$$ $$35x - 30x = 0$$ $$5x = 0$$

Получается, что x = 0, что невозможно, так как E лежит на стороне NK.

Из подобия треугольников следует:

$$\frac{NE}{NK} = \frac{MD}{MK}$$

$$\frac{x}{6} = \frac{a}{5}$$

$$a = \frac{5x}{6}$$

Также из подобия треугольников следует:

$$\frac{MD}{MN} = \frac{EK}{NK}$$

$$\frac{a}{7} = \frac{6 - x}{6}$$

Подставим $$a = \frac{5x}{6}$$ в это уравнение:

$$\frac{\frac{5x}{6}}{7} = \frac{6 - x}{6}$$

$$\frac{5x}{42} = \frac{6 - x}{6}$$

$$30x = 42(6 - x)$$

$$30x = 252 - 42x$$

$$72x = 252$$

$$x = \frac{252}{72} = \frac{7}{2} = 3.5$$

NE = 3.5 см.

EK = 6 - x = 6 - 3.5 = 2.5 см.

Ответ: NE = 3.5 см, EK = 2.5 см