539 В треугольник MNK вписан ромб MDEF так, что вер- шины D, Е и F лежат соответственно на сторонах MN, NK и МК. Найдите отрезки NE и ЕК, если MN=7см, NK=6 см, МК=5см.

1. Пусть NE = x, тогда ЕK = NK - NE = 6 - x. Так как MDEF - ромб, то MD = DE = EF = FM. Также, поскольку MDEF - ромб, то DE || MK и MD || EF.

2. Рассмотрим треугольник MNK. Так как DE || MK, то треугольники NDE и NKM подобны. Из подобия следует:

$$\frac{NE}{NK} = \frac{DE}{MK}$$

3. Выразим DE через известные стороны. Так как MD = FM и MDEF - ромб, а MD || EF, то MDEF - параллелограмм. MD = EF. Рассмотрим треугольник MNK. Поскольку MD = DE, то DE = MF.

4. Пусть MD = a, тогда MF = a. Так как MN = 7, MK = 5, NK = 6, то:

$$\frac{NE}{NK} = \frac{DE}{MK}$$ $$\frac{x}{6} = \frac{a}{5}$$

5. Рассмотрим подобие треугольников MDE и MNK. Имеем:

$$\frac{MD}{MN} = \frac{DE}{MK}$$ $$MD = MN - DN$$ $$a = 7 - DN$$

6. Треугольники NDE и NKM подобны, следовательно:

$$\frac{ND}{NM} = \frac{NE}{NK}$$ $$\frac{ND}{7} = \frac{x}{6}$$ $$ND = \frac{7x}{6}$$

7. Получаем:

$$a = 7 - \frac{7x}{6}$$

8. Подставим это значение a в уравнение из подобия:

$$\frac{x}{6} = \frac{7 - \frac{7x}{6}}{5}$$ $$5x = 6 \cdot (7 - \frac{7x}{6})$$ $$5x = 42 - 7x$$ $$12x = 42$$ $$x = \frac{42}{12} = \frac{7}{2} = 3.5$$

9. NE = x = 3.5 см. Теперь найдем ЕK:

$$EK = 6 - x = 6 - 3.5 = 2.5 \text{ см}$$

Ответ: NE = 3.5 см, EK = 2.5 см