538 Биссектриса AD треугольника АВС делит сторону ВС на отрезки CD и BD, равные соответственно 4,5 см и 13,5 см. Найдите АВ и АС, если периметр треуголь- ника АВС равен 42 см,

Пусть \(AB = x\) см, \(AC = y\) см. Периметр треугольника ABC равен сумме длин всех его сторон: \(AB + BC + AC = 42\) см.

По условию, \(CD = 4,5\) см и \(BD = 13,5\) см, следовательно, \(BC = CD + BD = 4,5 + 13,5 = 18\) см.

Тогда, \(AB + AC = 42 - BC = 42 - 18 = 24\), то есть \(x + y = 24\).

Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам треугольника. В нашем случае:

$$\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CD}$$ $$\frac{x}{y} = \frac{13,5}{4,5} = 3$$

Выразим \(x\) через \(y\): \(x = 3y\).

Подставим это выражение в уравнение периметра: \(3y + y = 24\), следовательно, \(4y = 24\), \(y = 6\).

Тогда \(x = 3 \cdot 6 = 18\).

Итак, \(AB = 18\) см, \(AC = 6\) см.

Ответ: \(AB = 18\) см, \(AC = 6\) см.