8. В треугольник ABC с прямым углом C вписана окружность с центром O, касающаяся сторон AB, BC и CA в точках D, E и F соответственно. Известно, что OC=2√2. Найдите: а) радиус окружности; б) углы EOF и EDF.

a) Пусть r - радиус вписанной окружности. Четырехугольник CFОE - квадрат, так как углы C, F, E прямые и CF = CE = r. Значит, OC - диагональ квадрата, и OC = r * √2.

$$r \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$$

$$r = 2$$

Радиус окружности равен 2.

б) Угол EOF равен 90 градусам, так как CFOE - квадрат.

Угол EDF является вписанным углом, опирающимся на дугу EF. Центральный угол, опирающийся на эту же дугу, - это угол EOF, который равен 90 градусам. Следовательно, вписанный угол EDF равен половине центрального угла EOF.

$$\angle EDF = \frac{1}{2} \angle EOF = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$$

Ответ: а) радиус = 2; б) ∠EOF = 90°, ∠EDF = 45°