5. В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагонали пересекаются в точке О, BO : OD = 2:3, AC=25 см. Найдите отрезки АО и ОС.

В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке O, BO : OD = 2 : 3, AC = 25 см. Нужно найти отрезки AO и OC.

Так как AD и BC основания трапеции, то AD || BC. Треугольники BOC и AOD подобны по двум углам (вертикальные углы при пересечении диагоналей и внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей BD). Следовательно, отношения соответствующих сторон равны:

$$\frac{BO}{OD} = \frac{OC}{OA} = \frac{BC}{AD}$$

Известно, что BO : OD = 2 : 3, значит:

$$\frac{OC}{OA} = \frac{2}{3}$$

Также известно, что AC = AO + OC = 25 см. Выразим OC через AO:

$$OC = 25 - AO$$

Тогда:

$$\frac{25 - AO}{AO} = \frac{2}{3}$$

Решим уравнение:

$$3(25 - AO) = 2AO$$ $$75 - 3AO = 2AO$$ $$75 = 5AO$$ $$AO = 15$$

Следовательно:

$$OC = 25 - 15 = 10$$

Ответ: AO = 15 см, OC = 10 см