В3. Из вершины прямого угла С треугольника АВС восстановлен перпендикуляр CD к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки D до гипотенузы треугольника, если АС = a, BC = b, CD = c.

Для решения этой задачи нам потребуется знание теоремы о трех перпендикулярах. 1. Определение положения основания перпендикуляра из точки D на гипотенузу AB. Пусть E — основание перпендикуляра, опущенного из точки D на гипотенузу AB. Так как CD перпендикулярна плоскости ABC, то CD перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности, CD перпендикулярна AB. 2. Использование теоремы о трех перпендикулярах. Рассмотрим прямую CE, лежащую в плоскости ABC. Если CE перпендикулярна AB, то DE также перпендикулярна AB (по теореме о трех перпендикулярах). Значит, DE является искомым расстоянием от точки D до гипотенузы AB. 3. Нахождение длины CE. В прямоугольном треугольнике ABC с катетами AC = a и BC = b гипотенуза AB = √(a² + b²). Площадь треугольника ABC равна (1/2) * a * b. С другой стороны, площадь можно выразить как (1/2) * AB * CE. Таким образом: (1/2) * a * b = (1/2) * √(a² + b²) * CE CE = (a * b) / √(a² + b²) 4. Нахождение длины DE. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник CDE, в котором CD = c и CE = (a * b) / √(a² + b²). По теореме Пифагора: DE = √(CD² + CE²) = √[c² + (a² * b²) / (a² + b²)] = √[(c² * (a² + b²) + a² * b²) / (a² + b²)] = √[(a² * c² + b² * c² + a² * b²) / (a² + b²)] Ответ: $$\sqrt{\frac{a^2c^2 + b^2c^2 + a^2b^2}{a^2 + b^2}}$$