16. В сосуде с водой, не касаясь стенок и дна, плавает деревянный (сосновый) кубик с длиной ребра 20 см. Кубик вынимают из воды, заменяют половину его объёма на материал, плотность которого в 6 раз больше плотности древесины, и помещают получившийся составной кубик обратно в сосуд с водой. На сколько увеличится модуль силы Архимеда, действующей на кубик? Ответ выразите в Н. (Плотность сосны 400 кг/м³.)

Дано:

• $$a = 20 \text{ см} = 0,2 \text{ м}$$;
• $$\rho_\text{сос} = 400 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$$;
• $$\rho_\text{мат} = 6 \rho_\text{сос}$$;
• $$\rho_\text{воды} = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$$;
• $$V_\text{мат} = \frac{1}{2} V_\text{кубика}$$.

Найти: на сколько увеличится модуль силы Архимеда $$ \Delta F_\text{арх} $$.

Решение:

Сила Архимеда, действующая на деревянный кубик:

$$F_\text{арх1} = \rho_\text{воды} g V_\text{погр1} = m_\text{кубика} g = \rho_\text{сос} V_\text{кубика} g$$

После замены половины объёма:

$$F_\text{арх2} = \rho_\text{воды} g V_\text{погр2} = (m_\text{мат} + m_\text{сос}) g$$

Масса материала:

$$m_\text{мат} = \rho_\text{мат} V_\text{мат} = 6 \rho_\text{сос} \frac{1}{2} V_\text{кубика} = 3 \rho_\text{сос} V_\text{кубика}$$

Масса оставшейся сосны:

$$m_\text{сос} = \rho_\text{сос} \frac{1}{2} V_\text{кубика}$$ $$F_\text{арх2} = (3 \rho_\text{сос} V_\text{кубика} + \frac{1}{2} \rho_\text{сос} V_\text{кубика}) g = \frac{7}{2} \rho_\text{сос} V_\text{кубика} g$$

Увеличение силы Архимеда:

$$ \Delta F_\text{арх} = F_\text{арх2} - F_\text{арх1} = \frac{7}{2} \rho_\text{сос} V_\text{кубика} g - \rho_\text{сос} V_\text{кубика} g = \frac{5}{2} \rho_\text{сос} V_\text{кубика} g$$

Объём кубика:

$$V_\text{кубика} = a^3 = (0,2 \text{ м})^3 = 0,008 \text{ м}^3$$ $$\Delta F_\text{арх} = \frac{5}{2} \cdot 400 \cdot 0,008 \cdot 10 = 80 \text{ Н}$$

Ответ: 80 Н