13. Пустой цилиндрический стеклянный стакан плавает в воде, погрузившись на половину своей высоты. Дно стакана при плавании горизонтально, плотность стекла 2500 кг/м³. Чему равно отношение внутреннего объёма стакана к его наружному объёму? Ответ представьте в виде десятичной дроби, округлив до десятых долей.

Обозначим:

• $$V_\text{вн} $$ – внутренний объем стакана;
• $$V_\text{нар} $$ – наружный объем стакана;
• $$h$$ – высота стакана;
• $$S$$ – площадь дна стакана;
• $$\rho_\text{ст}$$ – плотность стекла;
• $$\rho_\text{в}$$ – плотность воды.

Стакан плавает, следовательно, сила тяжести равна силе Архимеда:

$$F_\text{тяж} = F_\text{арх}$$ $$mg = \rho_\text{в} V_\text{погр} g$$ $$\rho_\text{ст} (V_\text{нар} - V_\text{вн}) g = \rho_\text{в} V_\text{погр} g$$

Объем погруженной части равен половине наружного объема, так как стакан погрузился наполовину:

$$V_\text{погр} = \frac{1}{2}V_\text{нар}$$ $$\rho_\text{ст} (V_\text{нар} - V_\text{вн}) = \rho_\text{в} \frac{1}{2}V_\text{нар}$$

Выразим искомое отношение:

$$\frac{V_\text{вн}}{V_\text{нар}} = 1 - \frac{\rho_\text{в}}{2 \rho_\text{ст}} = 1 - \frac{1000}{2 \cdot 2500} = 1 - 0,2 = 0,8$$

Ответ: 0,8