22. В сосуд налито 3 л воды. В этой воде в равновесии плавает тело, объём погружённой части которого равен 110 см³. В сосуд доливают ещё 3 л жидкости плотностью 1200 кг/м 3 и перемешивают их. Чему после этого будет равен объём погружённой части тела (в см³) при плавании в равновесии? В обоих случаях плавающее тело не касается стенок и дна сосуда. Обе жидкости хорошо смешиваются, и при смешивании их суммарный объём сохраняется.

Дано:

• $$V_1 = 3 \text{ л} = 3000 \text{ см}^3$$;
• $$V_\text{погр1} = 110 \text{ см}^3$$;
• $$\rho_1 = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} = 1 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$$;
• $$V_2 = 3 \text{ л} = 3000 \text{ см}^3$$;
• $$\rho_2 = 1200 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} = 1,2 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$$.

Найти: объём погружённой части тела после добавления жидкости $$V_\text{погр2}$$, в см³.

Решение:

Вначале сила тяжести тела уравновешивается силой Архимеда:

$$mg = \rho_1 V_\text{погр1} g$$

После добавления жидкости плотность смеси:

$$\rho_\text{смеси} = \frac{\rho_1 V_1 + \rho_2 V_2}{V_1 + V_2} = \frac{1 \cdot 3000 + 1,2 \cdot 3000}{3000 + 3000} = \frac{1 + 1,2}{2} = 1,1 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$$

После добавления жидкости:

$$mg = \rho_\text{смеси} V_\text{погр2} g$$

Так как масса тела не изменилась, то

$$\rho_1 V_\text{погр1} g = \rho_\text{смеси} V_\text{погр2} g$$ $$V_\text{погр2} = \frac{\rho_1 V_\text{погр1}}{\rho_\text{смеси}} = \frac{1 \cdot 110}{1,1} = 100 \text{ см}^3$$

Ответ: 100 см³