5. В шар вписан конус, объём которого \(\frac{32π}{3}\) см³ и площадь основания 8п см². Найдите диаметр шара.

Ответ: Диаметр шара равен 5 см.

Решение:

Объём конуса:

\[V = \frac{1}{3}πr^2h\]

Площадь основания конуса:

\[S = πr^2\]

где r - радиус основания конуса, h - высота конуса.

Дано, что \(V = \frac{32π}{3}\) см³ и \(S = 8π\) см², следовательно:

\[πr^2 = 8π\] \[r^2 = 8\] \[r = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \text{ см}\]

Теперь найдем высоту конуса:

\[\frac{32π}{3} = \frac{1}{3}π(8)h\] \[32π = 8πh\] \[h = 4 \text{ см}\]

Радиус шара R можно найти из соотношения:

\[R = \frac{r^2 + h^2}{2h}\]

Подставим известные значения:

\[R = \frac{8 + 16}{2 \cdot 4} = \frac{24}{8} = 3 \text{ см}\]

Диаметр шара равен:

\[d = 2R = 2 \cdot 3 = 6 \text{ см}\]

Ответ: Диаметр шара равен 6 см.