3. Площадь сечения шара некоторой плоскостью равна 27п см². Радиус шара, проведенный в точку окружности сечения, составляет с плоскостью сечения угол 60°. Найдите площадь поверхности шара.

Ответ: Площадь поверхности шара равна 144π см².

Решение:

Площадь сечения шара плоскостью:

\[S_{сеч} = πr^2\]

Где r - радиус сечения.

Дано, что \(S_{сеч} = 27π\) см², следовательно:

\[πr^2 = 27π\] \[r^2 = 27\] \[r = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \text{ см}\]

Радиус шара R, радиус сечения r и расстояние от центра шара до плоскости сечения h образуют прямоугольный треугольник, в котором угол между радиусом шара и плоскостью сечения равен 60°. Тогда:

\[\cos(60°) = \frac{h}{R}\]

И:

\[\sin(60°) = \frac{r}{R}\]

Так как \(\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), то:

\[\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{R}\] \[R = \frac{3\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{3}} = 6 \text{ см}\]

Теперь найдем площадь поверхности шара:

\[S = 4πR^2\] \[S = 4π(6)^2 = 4π \cdot 36 = 144π \text{ см}^2\]

Ответ: Площадь поверхности шара равна 144π см².