39. В равнобокой трапеций большее основание равно 44 м, бо- ковая сторона 17 м и диагональ 39 м. Найдите площадь трапеции.

Пусть большее основание трапеции равно $$a = 44$$ м, боковая сторона равна $$c = 17$$ м, диагональ равна $$d = 39$$ м.

Сначала найдем высоту трапеции. Для этого опустим высоту из вершины верхнего основания на нижнее. Пусть $$x$$ - это отрезок, который отсекает высота от большего основания. Тогда можно воспользоваться теоремой Пифагора:

$$h^2 + x^2 = c^2$$

С другой стороны, мы можем рассмотреть треугольник, образованный диагональю, высотой и оставшейся частью основания (a-x). Пусть меньшее основание равно b. Тогда $$x = \frac{a-b}{2}$$, и высота опускается на большее основание так, что образуется прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной диагонали.

Соединим диагональ. Диагональ разбивает трапецию на два треугольника. Рассмотрим прямоугольный треугольник со сторонами 17, h, x, где h - высота трапеции. $$h^2 = 17^2 - x^2 = 289 - x^2$$. Рассмотрим также треугольник со сторонами 39, h и 44-x, где 44 - большее основание. Тогда $$h^2 = 39^2 - (44-x)^2 = 1521 - (44-x)^2$$. Получаем:

$$289 - x^2 = 1521 - (44-x)^2$$ $$289 - x^2 = 1521 - (1936 - 88x + x^2)$$ $$289 - x^2 = 1521 - 1936 + 88x - x^2$$ $$289 = -415 + 88x$$ $$704 = 88x$$ $$x = \frac{704}{88} = 8$$ $$h^2 = 17^2 - x^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225$$ $$h = \sqrt{225} = 15$$

Теперь нужно найти меньшее основание $$b$$. Рассмотрим треугольник со сторонами 39, 15 и (44-x). (44-x) = 44 - 8 = 36. По теореме косинусов $$39^2 = 17^2 + (44-b)^2 - 2 \cdot 17 \cdot (44-b) \cdot cos \alpha $$, а cos \alpha = \frac{44-x}{17}$$

Соединяем диагональ с другим углом, получаем $$39^2 = 17^2 + y^2; 39^2 = 15^2 + (44-b)^2;$$ откуда 15^2 + (44 - b)^2 = 39^2:

225 +(44-b)^2=1521

(44-b)^2 = 1296=36^2

44-b=36, b=8

Площадь трапеции: $$S = \frac{a+b}{2}h$$;

S= $$S = \frac{44+8}{2}15$$ =390

Ответ: 390