41*. Д те, что среди всех параллелограммов с данными ями большую площадь имеет ромб.

Доказательство:

Пусть дан параллелограмм со сторонами a и b и углом между ними α.

Площадь параллелограмма равна S = a * b * sin(α).

Чтобы площадь параллелограмма была максимальной при фиксированных сторонах a и b, необходимо, чтобы sin(α) был максимальным. Максимальное значение sin(α) равно 1, что достигается при α = 90°.

Таким образом, максимальная площадь параллелограмма достигается, когда угол между сторонами равен 90°, то есть параллелограмм является прямоугольником.

Среди всех прямоугольников с заданным периметром наибольшую площадь имеет квадрат. Квадрат - это ромб, у которого углы прямые.

Таким образом, ромб имеет наибольшую площадь среди всех параллелограммов с данными сторонами, когда он является квадратом.

Предположим, что задана площадь параллелограмма S и длины сторон a, b. S = a*b*sin(a). Откуда sin(a) = S/ab. Чтобы площадь параллелограмма была максимальной при заданных сторонах, требуется, чтобы sin(а) был максимальным.

Когда а=b, параллелограмм является ромбом.

Ответ: Доказано.