37. Найдите площадь трапеции, у которой параллель- ные стороны 60 см и 20 см, а непараллельные — 13 см и 37 см.

Пусть $$a$$ и $$b$$ — основания трапеции, где $$a = 60 \text{ см}$$, $$b = 20 \text{ см}$$. Пусть $$c$$ и $$d$$ — непараллельные стороны, где $$c = 13 \text{ см}$$, $$d = 37 \text{ см}$$.

Для нахождения площади трапеции можно воспользоваться формулой:

$$S = \frac{a + b}{2} \cdot h$$

где $$h$$ — высота трапеции.

Для нахождения высоты можно поступить следующим образом: проведем две высоты из вершин меньшего основания к большему основанию. Тогда большее основание разделится на три отрезка: $$x$$, $$b$$, $$y$$, где $$x + b + y = a$$. Тогда $$x + y = a - b = 60 - 20 = 40$$.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника, образованных высотами, боковыми сторонами и отрезками $$x$$ и $$y$$. Тогда можно записать:

$$h^2 = c^2 - x^2 = d^2 - y^2$$ $$13^2 - x^2 = 37^2 - y^2$$ $$169 - x^2 = 1369 - y^2$$ $$y^2 - x^2 = 1369 - 169 = 1200$$ $$(y - x)(y + x) = 1200$$ $$(y - x) \cdot 40 = 1200$$ $$y - x = \frac{1200}{40} = 30$$

Теперь у нас есть система уравнений:

$$x + y = 40$$ $$y - x = 30$$

Сложим эти уравнения:

$$2y = 70$$ $$y = 35$$ $$x = 40 - y = 40 - 35 = 5$$

Теперь найдем высоту из первого треугольника:

$$h^2 = c^2 - x^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$$ $$h = \sqrt{144} = 12$$

Теперь найдем площадь трапеции:

$$S = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{60 + 20}{2} \cdot 12 = \frac{80}{2} \cdot 12 = 40 \cdot 12 = 480 \text{ см}^2$$

Ответ: Площадь трапеции равна 480 см².