6. В равнобедренной трапеции средняя линия равна 3, а диагональ - 5. Найдите высоту трапеции. Ответ:

• Средняя линия равна полусумме оснований: \[\frac{a+b}{2} = 3\]
• Следовательно, сумма оснований равна 6: \[a+b = 6\]
• Проведем высоту из вершины верхнего основания к нижнему.
• Обозначим длину отрезка, отсекаемого высотой на нижнем основании, как x.
• Так как трапеция равнобедренная, то \[x = \frac{a-b}{2}\]
• Выразим a через b: \[a = 6 - b\]
• Тогда \[x = \frac{6 - b - b}{2} = \frac{6 - 2b}{2} = 3 - b\]
• По теореме Пифагора: \[h^2 + x^2 = d^2\] где d - диагональ, h - высота.
• \[h^2 + (3-b)^2 = 5^2\]
• \[h^2 + 9 - 6b + b^2 = 25\]
• \[h^2 = 16 + 6b - b^2\]
• Также, \[(a+b)/2 = 3\] и \[a+b = 6\]
• Пусть \[a > b\], тогда \[a - b = 2x\] и \[x = (a-b)/2\]
• По теореме Пифагора: \[h^2 + x^2 = 5^2\] (диагональ равна 5)
• \[h^2 + ((a-b)/2)^2 = 25\]
• \[h^2 = 25 - ((a-b)/2)^2\]
• Выразим \[a\] через \[b\]: \[a = 6 - b\]
• Подставим в уравнение: \[h^2 = 25 - (((6-b)-b)/2)^2\]
• \[h^2 = 25 - ((6-2b)/2)^2\]
• \[h^2 = 25 - (3-b)^2\]
• \[h^2 = 25 - (9 - 6b + b^2)\]
• \[h^2 = 16 + 6b - b^2\]

Если \[x = (a-b)/2 = 0\] (то есть \[a = b\]), тогда трапеция является прямоугольником, и \[h = 4\].