6.В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС угол А равен 120 °. Высота треугольника, проведённая из вершины С, равна 18.

Решение:

1. Пусть CH — высота, опущенная из вершины C на сторону AB, и CH = 18.
2. В равнобедренном треугольнике ABC углы при основании BC равны. Так как \(\angle BAC = 120^\circ\), то \(\angle ABC = \angle ACB = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ\).
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник CHB. В нём: \(\angle CBH = 30^\circ\).
4. Используем тангенс угла для нахождения стороны HB: \[\tan(\angle CBH) = \frac{CH}{HB}\] \[HB = \frac{CH}{\tan(\angle CBH)} = \frac{18}{\tan(30^\circ)} = \frac{18}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 18\sqrt{3}\]
5. Так как треугольник ABC равнобедренный и CH — высота, то она также является медианой. Значит, HB = \(\frac{1}{2}\)BC.
6. Тогда сторона BC равна: \[BC = 2 \cdot HB = 2 \cdot 18\sqrt{3} = 36\sqrt{3}\]

Итак, длина стороны BC равна \(36\sqrt{3}\).