7. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С проведена высота CD. Найдите величину угла А, если DB = 8, а BC=16.

В прямоугольном треугольнике ABC, CD – высота, опущенная из вершины прямого угла C на гипотенузу AB.
Рассмотрим треугольник BCD. Он прямоугольный (угол CDB равен 90 градусов).
sin(∠CBD) = CD / BC
Так же можно рассмотреть как sin(∠A) = BC/AB
Но что нам это даст?
Рассмотрим треугольник ABC, в котором CD - высота. Из прямоугольного треугольника BCD:
$$\sin(\angle B) = \frac{CD}{BC}$$
Из прямоугольного треугольника ABC:
$$\sin(\angle A) = \frac{BC}{AB}$$
Из прямоугольного треугольника ACD:
$$\sin(\angle A) = \frac{CD}{AC}$$
$$\cos(\angle A) = \frac{AD}{AC}$$
В данном случае можно сказать, что \(\angle\) B = 90 - A, значит \(\sin\)(B) = \(\cos\)(A)
$$\cos(\angle A) = \frac{BC}{AB} => \cos(\angle A) = \frac{16}{8+AD}$$
$$\frac{CD}{BC}=\frac{16}{8+AD}$$
С другой стороны из т. Пифагора:
$$\sqrt{BC^2-DB^2} = CD$$, то есть
$$\sqrt{16^2-DB^2} = CD$$
$$\sqrt{256-DB^2} = CD$$

Второй треугольник \(\sqrt{AC^2-AD^2}\) = CD$$
$$\(\sqrt{AC^2-AD^2}\) = \(\sqrt{256-DB^2}\)$$

Можно сразу найти косинус угла B из треугольника BCD:
$$\(\cos\) B = DB/BC= 8/16 = 1/2$$. Значит угол B = 60 градусов. А угол A = 90 - 60 = 30 градусов.

Ответ: 30