6. Углы треугольника АВС относятся так: ∠A : ∠B : ∠C= 1: 2 : 3. Биссектриса ВМ угла АВС, равна 16. Найдите длину отрезка МС.

Решение:

1. Пусть \(\angle A = x\), тогда \(\angle B = 2x\) и \(\angle C = 3x\).
2. Сумма углов в треугольнике равна 180°: \[x + 2x + 3x = 180^\circ\] \[6x = 180^\circ\] \[x = 30^\circ\]
3. Таким образом: \[\angle A = 30^\circ, \quad \angle B = 60^\circ, \quad \angle C = 90^\circ\]
4. BM - биссектриса угла B, следовательно, \(\angle ABM = \angle CBM = \frac{\angle B}{2} = 30^\circ\).
5. Рассмотрим треугольник ABM: \[\angle ABM = 30^\circ, \quad \angle A = 30^\circ\] Следовательно, треугольник ABM - равнобедренный (\(AM = BM = 16\)).
6. В прямоугольном треугольнике ABC медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы: \(BM = AM = MC\).
7. Тогда: \[MC = BM = 16\]

Таким образом, длина отрезка MC равна 16.