700 В прямоугольном треугольнике один из катетов равен в, а противолежащий угол равен β. а) Выразите другой катет, противолежащий ему угол и гипотенузу через в и β. б) Найдите их значения, если b = 10 см, β= 50°.

а) Обозначим известный катет как b, противолежащий ему угол как β. Пусть a - другой катет, α - противолежащий ему угол, c - гипотенуза.

Нам дано:

• Катет b
• Угол β

Найти:

• Катет a
• Гипотенуза c
• Угол α

Решение:

1. Выразим катет a через катет b и угол β:

Используем тангенс угла β: \(\tan(\beta) = \frac{b}{a}\). Отсюда выражаем a: \(a = \frac{b}{\tan(\beta)}\)

2. Выразим гипотенузу c через катет b и угол β:

Используем синус угла β: \(\sin(\beta) = \frac{b}{c}\). Отсюда выражаем c: \(c = \frac{b}{\sin(\beta)}\)

3. Найдем угол α:

Так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°, то \(\alpha = 90^{\circ} - \beta\)

б) Дано: b = 10 см, β = 50°

Вычислим значения:

1. Катет a: \(a = \frac{10}{\tan(50^{\circ})} \approx \frac{10}{1.19} \approx 8.4 \text{ см}\)

2. Гипотенуза c: \(c = \frac{10}{\sin(50^{\circ})} \approx \frac{10}{0.766} \approx 13.05 \text{ см}\)

3. Угол α: \(\alpha = 90^{\circ} - 50^{\circ} = 40^{\circ}\)

Проверка за 10 секунд: Катет `a` должен быть меньше гипотенузы `c`.

Доп. профит: Уровень Эксперт. Для решения задач с прямоугольными треугольниками полезно знать не только основные тригонометрические функции, но и теорему Пифагора. Проверь, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов!