В прямоугольном треугольнике один из катетов равен в, а прилежащий к нему угол равен с. а) Выразите второй катет, прилежащий к нему острый угол и гипотенузу через в иа. б) Найдите их значения, если b = 12 см, а = 42°.

Решение

Привет! Разберем эту задачу вместе.

Пусть в прямоугольном треугольнике дан катет \( b \) и прилежащий к нему угол \( \alpha \).

a) Нужно выразить второй катет \( a \), прилежащий к нему острый угол и гипотенузу \( c \) через \( b \) и \( \alpha \).

1. Выражение второго катета \( a \)

   Используем тангенс угла \( \alpha \):

   \[ \tan(\alpha) = \frac{a}{b} \]

   Выразим \( a \) через \( b \) и \( \alpha \):

   \[ a = b \cdot \tan(\alpha) \]

2. Прилежащий к катету \( a \) острый угол

   Этот угол равен \( 90^\circ - \alpha \), так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна \( 90^\circ \).

3. Выражение гипотенузы \( c \)

   Используем косинус угла \( \alpha \):

   \[ \cos(\alpha) = \frac{b}{c} \]

   Выразим \( c \) через \( b \) и \( \alpha \):

   \[ c = \frac{b}{\cos(\alpha)} \]

б) Найдем значения, если \( b = 12 \) см и \( \alpha = 42^\circ \).

1. Значение катета \( a \)

   \[ a = 12 \cdot \tan(42^\circ) \approx 12 \cdot 0.9 \approx 10.8 \text{ см} \]

2. Прилежащий угол к катету \( a \)

   \[ 90^\circ - 42^\circ = 48^\circ \]

3. Значение гипотенузы \( c \)

   \[ c = \frac{12}{\cos(42^\circ)} \approx \frac{12}{0.74} \approx 16.2 \text{ см} \]

Ответ: a) \( a = b \cdot \tan(\alpha) \), угол = \( 90^\circ - \alpha \), \( c = \frac{b}{\cos(\alpha)} \); б) \( a \approx 10.8 \text{ см} \), угол = \( 48^\circ \), \( c \approx 16.2 \text{ см} \)

Молодец! Теперь ты умеешь выражать и находить стороны и углы в прямоугольном треугольнике. У тебя все получится!