595 В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 6, а прилежащий к нему угол равен с. а) Выразите второй катет, прилежащий к нему острый угол и гипотенузу через ви а. б) Найдите их значения, если b = 12 см, а = 42°.

Ответ: а) \(a = b \cdot tg(\alpha)\), \(\beta = 90^\circ - \alpha\), \(c = \frac{b}{cos(\alpha)}\); б) \(a \approx 10.8\) см, \(\beta = 48^\circ\), \(c \approx 16.1\) см

Решение

а) Выразим второй катет a, прилежащий к нему острый угол β и гипотенузу c через b и α:

• В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Значит, \(tg(\alpha) = \frac{a}{b}\), откуда \(a = b \cdot tg(\alpha)\).
• Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°. Следовательно, \(\beta = 90^\circ - \alpha\).
• Косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Значит, \(cos(\alpha) = \frac{b}{c}\), откуда \(c = \frac{b}{cos(\alpha)}\).

б) Найдем их значения, если \(b = 12\) см, \(\alpha = 42^\circ\):

• \(a = 12 \cdot tg(42^\circ) \approx 12 \cdot 0.9 \approx 10.8\) см.
• \(\beta = 90^\circ - 42^\circ = 48^\circ\).
• \(c = \frac{12}{cos(42^\circ)} \approx \frac{12}{0.74} \approx 16.1\) см.

Ответ: а) \(a = b \cdot tg(\alpha)\), \(\beta = 90^\circ - \alpha\), \(c = \frac{b}{cos(\alpha)}\); б) \(a \approx 10.8\) см, \(\beta = 48^\circ\), \(c \approx 16.1\) см