36. В прямоугольном треугольнике АВС ка- тет АС=20, а высота СН, опущенная на ги- потенузу, равна 3/39. Найдите sin∠ABC.

В прямоугольном треугольнике АВС катет АС=20, высота СН, опущенная на гипотенузу, равна $$3\sqrt{39}$$.

Синус угла АВС = $$sin∠ABC = \frac{AC}{AB}$$

Чтобы найти АВ, нужно рассмотреть треугольник АСН, где СН - высота, опущенная на гипотенузу АВ.

$$AC^2 = AH \cdot AB$$

В прямоугольном треугольнике АВС высота СН, опущенная на гипотенузу, обладает следующим свойством: $$CH^2 = AH \cdot BH$$

Также мы знаем, что $$AC^2 = AH \cdot AB$$ и $$BC^2 = BH \cdot AB$$.

По теореме Пифагора: $$AC^2 + BC^2 = AB^2$$

Заменим: $$AH \cdot AB + BH \cdot AB = AB^2$$

$$AB(AH + BH) = AB^2$$

$$AB \cdot AB = AB^2$$, что верно.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH:

$$AH = \sqrt{AC^2 - CH^2}$$

$$AH = \sqrt{20^2 - (3\sqrt{39})^2} = \sqrt{400 - 9 \cdot 39} = \sqrt{400 - 351} = \sqrt{49} = 7$$

Теперь найдем АВ:

$$AC^2 = AH \cdot AB$$

$$AB = \frac{AC^2}{AH} = \frac{20^2}{7} = \frac{400}{7}$$

Теперь найдем синус угла АВС:

$$sin∠ABC = \frac{AC}{AB} = \frac{20}{\frac{400}{7}} = \frac{20 \cdot 7}{400} = \frac{140}{400} = \frac{14}{40} = \frac{7}{20} = 0,35$$

Ответ: 0,35