291 В прямоугольном параллелепипеде диагональ, равная д, образует с плоскостью основания угол φ, а с одной из сторон основания — угол θ. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Пусть стороны основания параллелепипеда равны a и b, а высота равна h. Диагональ параллелепипеда равна д.

Из условия задачи известно, что диагональ д образует с плоскостью основания угол φ, следовательно, высота h может быть выражена как:

\[h = d \sin{\varphi}\]

Диагональ основания l может быть выражена как:

\[l = d \cos{\varphi}\]

Пусть угол между диагональю основания l и стороной a равен θ. Тогда:

\[a = l \cos{\theta} = d \cos{\varphi} \cos{\theta}\] \[b = \sqrt{l^2 - a^2} = \sqrt{d^2 \cos^2{\varphi} - d^2 \cos^2{\varphi} \cos^2{\theta}} = d \cos{\varphi} \sqrt{1 - \cos^2{\theta}} = d \cos{\varphi} \sin{\theta}\]

Площадь боковой поверхности S параллелепипеда равна:

\[S = 2(a + b)h = 2(d \cos{\varphi} \cos{\theta} + d \cos{\varphi} \sin{\theta}) \cdot d \sin{\varphi}\] \[S = 2d^2 \cos{\varphi} \sin{\varphi} (\cos{\theta} + \sin{\theta})\]

Проверка за 10 секунд: Вырази высоту и стороны основания через диагональ и углы, затем подставь в формулу площади боковой поверхности.

Доп. профит: Уровень Эксперт. Используй тригонометрические соотношения для нахождения нужных параметров параллелепипеда.