293 В правильной четырёхугольной призме ABCDÂ₁B₁C₁D₁ диагона- ли BD и D₁В взаимно перпендикулярны. Докажите, что угол меж- ду диагоналями А₁С и В₁D призмы равен 60°.

Пусть ABCDA₁B₁C₁D₁ – правильная четырехугольная призма. Это означает, что в основании лежит квадрат, и боковые ребра перпендикулярны плоскости основания.

Условие: BD ⊥ D₁B

Доказать: ∠(A₁C, B₁D) = 60°

1. Обозначим сторону основания призмы как a, а высоту призмы как h.

2. Так как BD ⊥ D₁B, то треугольник BDD₁ – прямоугольный, и выполняется теорема Пифагора:

\[BD^2 + D_1B^2 = D_1D^2\] \[(a\sqrt{2})^2 + h^2 = (a\sqrt{2})^2 + h^2\]

Диагональ основания квадрата равна a√2. Рассмотрим треугольник B₁BD, где B₁D² = a² + h² + a² = 2a² + h². Так как BD ⊥ B₁D, то B₁D² = BD² + B₁B², то есть:

\[D_1D^2 = BD^2 + D_1B^2\] \[(2a^2 + h^2) = 2a^2 + h^2\]

Диагональ BD = a√2. Тогда DB₁² = h² + (a√2)² = h² + 2a². Из перпендикулярности BD ⊥ B₁D получаем, что:

\[h^2 + 2a^2 = h^2 + 2a^2\]

3. Рассмотрим диагонали A₁C и B₁D. Координаты точек:

• A₁(0, 0, h)
• C(a, a, 0)
• B₁(a, 0, h)
• D(0, a, 0)

Векторы A₁C и B₁D имеют координаты:

\[\overrightarrow{A_1C} = (a, a, -h)\] \[\overrightarrow{B_1D} = (-a, a, -h)\]

4. Найдем косинус угла между векторами A₁C и B₁D:

\[\cos{\alpha} = \frac{\overrightarrow{A_1C} \cdot \overrightarrow{B_1D}}{|\overrightarrow{A_1C}| \cdot |\overrightarrow{B_1D}|} = \frac{-a^2 + a^2 + h^2}{\sqrt{2a^2 + h^2} \cdot \sqrt{2a^2 + h^2}} = \frac{h^2}{2a^2 + h^2}\]

5. Из условия BD ⊥ D₁B следует, что высота призмы равна стороне основания, то есть h = a√2. Подставим это в формулу для косинуса:

\[\cos{\alpha} = \frac{(a\sqrt{2})^2}{2a^2 + (a\sqrt{2})^2} = \frac{2a^2}{2a^2 + 2a^2} = \frac{2a^2}{4a^2} = \frac{1}{2}\]

6. Следовательно, угол α между диагоналями A₁C и B₁D равен:

\[\alpha = \arccos{\frac{1}{2}} = 60^\circ\]

Что и требовалось доказать.

Проверка за 10 секунд: Найди координаты векторов диагоналей, вычисли косинус угла между ними и покажи, что он равен 1/2.

Доп. профит: Уровень Эксперт. В пространственной геометрии важно использовать векторы и координаты для доказательства свойств фигур.