В параллелепипеде $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ в основании находится параллелограмм со сторонами 12 см и 8 см и углом, равным $$60^{\circ}$$. Точки $$K, M, N$$ – середины ребер $$AB, A_1B_1$$ и $$B_1C_1$$ соответственно. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки $$K, M, N$$, и найдите периметр сечения, если $$AA_1 = 11$$ см. 1) 78 см 2) $$(126+48\sqrt{3})$$ см 3) $$2(11+2\sqrt{19})$$ см 4) 174 см

Сечение, проходящее через точки $$K, M, N$$, представляет собой параллелограмм. Найдем стороны этого параллелограмма.

Сторона $$KM$$ является средней линией в трапеции $$ABB_1A_1$$, следовательно, $$KM = \frac{1}{2} (AA_1 + BB_1) = \frac{1}{2} (11 + 11) = 11$$ см.

Сторона $$KN$$ соединяет середины сторон $$AB$$ и $$B_1C_1$$. Чтобы найти ее длину, рассмотрим треугольник $$KBN_1$$, где $$N_1$$ - проекция точки $$N$$ на плоскость $$ABCD$$. Тогда $$KN = \sqrt{KB^2 + BN^2 - 2 KB \cdot BN \cdot \cos(120^{\circ}))}$$.

$$KB = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$$ см. $$BN_1 = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$$ см. $$NN_1 = AA_1 = 11$$ см.

По теореме косинусов:

$$KN^2 = KB^2 + BN^2 - 2 \cdot KB \cdot BN \cdot \cos(120^{\circ})$$ $$KN^2 = 6^2 + 4^2 - 2 \cdot 6 \cdot 4 \cdot (-\frac{1}{2}) = 36 + 16 + 24 = 76$$

$$KN = \sqrt{76} = 2\sqrt{19}$$

Так как сечение - параллелограмм, то $$KN = M(\text{точка на ребре } C_1D_1)$$. Следовательно, периметр сечения равен: $$P = 2(KM + KN) = 2(11 + 2\sqrt{19})$$ см

Ответ: 3) $$2(11 + 2\sqrt{19})$$ см