15. В остроугольном треугольнике к двум сторонам с длинами 32 и 24 проведены высоты. Найдите длину высоты, которая проведена к меньшей стороне, если длина другой высоты равна 9.

Площадь треугольника можно вычислить как половину произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне. Обозначим стороны треугольника как $$a$$ и $$b$$, а высоты, проведённые к этим сторонам, как $$h_a$$ и $$h_b$$ соответственно. Тогда площадь треугольника $$S$$ можно выразить двумя способами:

$$S = \frac{1}{2} a h_a = \frac{1}{2} b h_b$$

Из этого следует, что $$a h_a = b h_b$$. В нашем случае даны стороны $$a = 32$$ и $$b = 24$$, а также высота, проведённая к стороне $$a$$, то есть $$h_a = 9$$. Нужно найти высоту $$h_b$$, проведённую к стороне $$b$$.

Подставляем известные значения в уравнение:

$$32 \cdot 9 = 24 \cdot h_b$$

Выражаем $$h_b$$:

$$h_b = \frac{32 \cdot 9}{24} = \frac{32 \cdot 3}{8} = 4 \cdot 3 = 12$$

Ответ: 12.