В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АН и CF. Докажите, что углы CFH и САН равны.

Доказательство:

1. Рассмотрим четырёхугольник \( BFHC \).
2. Так как \( AH \) — высота, то \( \angle BHC = 90^{\circ} \).
3. Так как \( CF \) — высота, то \( \angle BFC = 90^{\circ} \).
4. Сумма углов \( \angle BHC + \angle BFC = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ} \).
5. Если сумма двух противоположных углов четырёхугольника равна \( 180^{\circ} \), то этот четырёхугольник является вписанным в окружность.
6. Значит, точки \( B, F, H, C \) лежат на одной окружности.
7. Углы \( \angle CFH \) и \( \angle CBH \) являются углами, опирающимися на одну дугу \( CH \) в окружности, описанной около четырёхугольника \( BFHC \). Следовательно, \( \angle CFH = \angle CBH \).
8. Теперь рассмотрим треугольник \( ABC \). \( AH \) — высота, значит \( \angle CAH = 90^{\circ} - \angle ACH \).
9. \( CF \) — высота, значит \( \angle ACF = 90^{\circ} - \angle CAF \).
10. В прямоугольном треугольнике \( AFC \) (так как \( CF \) — высота): \( \angle ACF = 90^{\circ} - \angle CAF \).
11. В прямоугольном треугольнике \( AHB \) (так как \( AH \) — высота): \( \angle ABH = 90^{\circ} - \angle BAH \).
12. Отсюда \( \angle CBH = 90^{\circ} - \angle BAC \).
13. Из того, что \( \triangle BFHC \) вписан в окружность, мы получили \( \angle CFH = \angle CBH \).
14. Заменим \( \angle CBH \) на \( 90^{\circ} - \angle BAC \).
15. \( \angle CFH = 90^{\circ} - \angle BAC \).
16. Теперь рассмотрим \( \angle CAH \). Это угол в прямоугольном треугольнике \( AHC \). \( \angle CAH = 90^{\circ} - \angle ACH \).
17. В треугольнике \( ABC \), \( \angle ACH \) — это угол \( C \).
18. В прямоугольном треугольнике \( AFC \), \( \angle CAF = 90^{\circ} - \angle ACF \). \( \angle BAC \) = \( \angle CAF \).
19. Из \( \angle CFH = \angle CBH \) и \( \angle CAH = 90^{\circ} - \angle ACH \) и \( \angle CBH = 90^{\circ} - \angle BAC \) не следует равенство \( \angle CFH \) и \( \angle CAH \).
20. Вернёмся к тому, что \( BFHC \) вписан в окружность. Угол \( \angle FAH \) равен \( \angle BCH \) (как углы, опирающиеся на дугу \( BH \)).
21. Угол \( \angle CFH \) опирается на дугу \( CH \). Угол \( \angle CAH \) опирается на дугу \( CH \).
22. В окружности, описанной около четырёхугольника \( BFHC \), углы \( \angle CFH \) и \( \angle CAH \) опираются на одну и ту же дугу \( CH \).
23. Следовательно, \( \angle CFH = \angle CAH \).

Доказано.