Биссектрисы углов В и С параллелограмма ABCD пересекаются в точке Е. Найдите площадь параллелограмма, если АВ = 14, а расстояние от точки Е до стороны ВС равно 7,5.

Решение:

1. Обозначим \( AB = CD = 14 \).
2. Пусть \( BE \) — биссектриса \( \angle B \), а \( CE \) — биссектриса \( \angle C \).
3. Так как \( AB \parallel CD \), то \( \angle BEC = 180^{\circ} \) — это развёрнутый угол, если бы биссектрисы были проведены из смежных углов, но здесь биссектрисы проведены из углов \( B \) и \( C \) параллелограмма.
4. Рассмотрим сумму смежных углов параллелограмма: \( \angle B + \angle C = 180^{\circ} \).
5. Так как \( BE \) и \( CE \) — биссектрисы, то \( \angle EBC = \frac{1}{2} \angle B \) и \( \angle ECB = \frac{1}{2} \angle C \).
6. Сумма этих углов в треугольнике \( BEC \): \( \angle EBC + \angle ECB = \frac{1}{2} \angle B + \frac{1}{2} \angle C = \frac{1}{2} (\angle B + \angle C) = \frac{1}{2} (180^{\circ}) = 90^{\circ} \).
7. Значит, в треугольнике \( BEC \) угол \( \angle BEC = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \). Треугольник \( BEC \) — прямоугольный.
8. Расстояние от точки \( E \) до стороны \( BC \) — это высота \( EH \) прямоугольного треугольника \( BEC \), проведённая из вершины прямого угла. \( EH = 7.5 \).
9. В прямоугольном треугольнике \( BEC \), биссектриса \( BE \) делит угол \( B \), а биссектриса \( CE \) делит угол \( C \).
10. Точка \( E \) равноудалена от сторон \( BC \) и \( AB \) (так как \( BE \) — биссектриса \( \angle B \)).
11. Точка \( E \) равноудалена от сторон \( BC \) и \( CD \) (так как \( CE \) — биссектриса \( \angle C \)).
12. Таким образом, расстояние от \( E \) до \( AB \) равно \( 7.5 \) и расстояние от \( E \) до \( CD \) равно \( 7.5 \).
13. Следовательно, расстояние между параллельными сторонами \( AB \) и \( CD \) равно сумме этих расстояний: \( h_{AB, CD} = 7.5 + 7.5 = 15 \).
14. Высота параллелограмма, проведённая к стороне \( AB \) (или \( CD \)) равна \( 15 \).
15. Площадь параллелограмма \( S = основание \cdot высота \).
16. \( S = AB \cdot h_{AB, CD} \) или \( S = CD \cdot h_{AB, CD} \).
17. \( S = 14 \cdot 15 \).
18. \( S = 210 \).

Ответ: 210.