Решите систему уравнений x² + y² = 68, xy = -16.

Решение:

1. Выразим \( y \) из второго уравнения: \( y = -\frac{16}{x} \).
2. Подставим это выражение в первое уравнение: \( x^2 + \left(-\frac{16}{x}\right)^2 = 68 \).
3. Упростим: \( x^2 + \frac{256}{x^2} = 68 \).
4. Умножим обе части на \( x^2 \) (при \( x \neq 0 \)): \( x^4 + 256 = 68x^2 \).
5. Перенесём всё в одну сторону: \( x^4 - 68x^2 + 256 = 0 \).
6. Сделаем замену переменной: \( t = x^2 \) (при \( t > 0 \)). Получим квадратное уравнение: \( t^2 - 68t + 256 = 0 \).
7. Найдём дискриминант: \( D = (-68)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 256 = 4624 - 1024 = 3600 \).
8. Найдём \( t \): \[ t = \frac{68 \pm \sqrt{3600}}{2} = \frac{68 \pm 60}{2} \]
9. \( t_1 = \frac{68 + 60}{2} = \frac{128}{2} = 64 \)
10. \( t_2 = \frac{68 - 60}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)
11. Вернёмся к замене \( x^2 = t \):
• \( x^2 = 64 \) \( \implies \) \( x = \pm 8 \)
• \( x^2 = 4 \) \( \implies \) \( x = \pm 2 \)
12. Найдем соответствующие значения \( y \) для каждого \( x \) из \( y = -\frac{16}{x} \):
• Если \( x = 8 \), то \( y = -\frac{16}{8} = -2 \).
• Если \( x = -8 \), то \( y = -\frac{16}{-8} = 2 \).
• Если \( x = 2 \), то \( y = -\frac{16}{2} = -8 \).
• Если \( x = -2 \), то \( y = -\frac{16}{-2} = 8 \).

Ответ: \( (8; -2), (-8; 2), (2; -8), (-2; 8) \).