5*. В окружности с центром О проведены диаметр АС и хорда BD, пересекающиеся в точке М, причем BM = DM. ∠BAC = 35°. Найдите ∠BAD.

5*. Дано: Окружность с центром О, диаметр АС, хорда BD, BM = DM, ∠BAC = 35°.

Найти: ∠BAD.

Решение:

1) Т.к. BM = DM, то AM - медиана ΔBAD. Т.к. АС - диаметр, то ∠ABC = 90° (угол, опирающийся на диаметр). Рассмотрим ΔABM: ∠AMB = 90°, т.к. АС - диаметр и BM = DM. Тогда ΔABM - прямоугольный, а AM - медиана, проведенная к гипотенузе. Следовательно, BM = AM = DM (медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы).

2) Рассмотрим ΔABM: BM = AM, значит ΔABM - равнобедренный. Тогда ∠BAM = ∠ABM = 35° (углы при основании равнобедренного треугольника).

3) ∠BAD = ∠BAM + ∠MAD. ∠MAD = 90°, т.к. АС - диаметр и BM = DM.

4) ∠BAD = 35° + 90° = 125°.

Ответ: 125°.