В арифметической прогрессии (aₙ) четвертый, пятый и шестой члены заданы как: a₄ = 3x - 10; a₅ = x + 4; a₆ = 2x - 12. Найдите двадцать первый член арифметической прогрессии.

Решение:

1. Разность арифметической прогрессии \( d \) можно найти как разность двух соседних членов: \( d = a_5 - a_4 \) и \( d = a_6 - a_5 \).
2. Приравняем выражения для разности: \( a_5 - a_4 = a_6 - a_5 \) \( (x + 4) - (3x - 10) = (2x - 12) - (x + 4) \).
3. Упростим обе части уравнения: \( x + 4 - 3x + 10 = 2x - 12 - x - 4 \) \( -2x + 14 = x - 16 \).
4. Решим уравнение относительно x: \( 14 + 16 = x + 2x \) \( 30 = 3x \) \( x = 10 \).
5. Найдем значение пятого члена прогрессии: \( a_5 = x + 4 = 10 + 4 = 14 \).
6. Найдем разность прогрессии: \( d = a_6 - a_5 = (2x - 12) - (x + 4) = (2(10) - 12) - (10 + 4) = (20 - 12) - 14 = 8 - 14 = -6 \).
7. Найдем двадцать первый член прогрессии по формуле \( a_n = a_1 + (n-1)d \). Для этого сначала найдем \( a_1 \): \( a_1 = a_5 - 4d = 14 - 4(-6) = 14 + 24 = 38 \).
8. Теперь найдем \( a_{21} \): \( a_{21} = a_1 + (21-1)d = 38 + 20(-6) = 38 - 120 = -82 \).

Ответ: -82