8. Упростите выражение: $$\frac{5 \cdot 72^m}{3^{2m-1} \cdot 2^{2m+3}}$$

$$\frac{5 \cdot 72^m}{3^{2m-1} \cdot 2^{2m+3}}$$

Представим 72 как произведение простых чисел: $$72 = 2^3 \cdot 3^2$$. Тогда выражение примет вид:

$$\frac{5 \cdot (2^3 \cdot 3^2)^m}{3^{2m-1} \cdot 2^{2m+3}} = \frac{5 \cdot 2^{3m} \cdot 3^{2m}}{3^{2m-1} \cdot 2^{2m+3}}$$

Разделим степени с одинаковым основанием:

$$ = 5 \cdot \frac{2^{3m}}{2^{2m+3}} \cdot \frac{3^{2m}}{3^{2m-1}} = 5 \cdot 2^{3m - (2m+3)} \cdot 3^{2m - (2m-1)} = 5 \cdot 2^{3m - 2m - 3} \cdot 3^{2m - 2m + 1} = 5 \cdot 2^{m-3} \cdot 3^1 = 5 \cdot 2^{m-3} \cdot 3 = 15 \cdot 2^{m-3} $$

Ответ: $$15 \cdot 2^{m-3}$$