22.39. Упростите выражение: 1) (√a/(√a-1)) : (√a/(√a-2√a +1)); 2) (4√x/(√x+1)) ⋅ ((√x+√x)/(∛x-1)); 3) (∛a³-∛b³)/(√a-√b) ⋅ (√(a/b) +1); 4) √a +27/(∛a-∛b) ⋅ ((∛a-3)/(√a -3∛a +9) - (∛ab-9)/(√a +27)) ;

Упрощение выражений

1. 1) (√a/(√a-1)) : (√a/(√a-2√a +1))

   Деление заменяем умножением на перевернутую дробь:

   \[\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1} : \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-2\sqrt{a}+1} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1} \cdot \frac{\sqrt{a}-2\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}}\]

   Сокращаем √a:

   \[\frac{\sqrt{a}-2\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}\]

   Замечаем, что числитель является полным квадратом:

   \[\frac{(\sqrt{a}-1)^2}{\sqrt{a}-1}\]

   Сокращаем (√a-1):

   \[\sqrt{a}-1\]

2. 2) (4∛x/(∛x+1)) ⋅ ((∛x+∛x)/(∛x-1))

   Упрощаем числитель второй дроби:

   \[\frac{4\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}+1} \cdot \frac{2\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}-1}\]

   Перемножаем дроби:

   \[\frac{4\sqrt[3]{x} \cdot 2\sqrt[3]{x}}{(\sqrt[3]{x}+1)(\sqrt[3]{x}-1)}\]

   Упрощаем числитель и знаменатель:

   \[\frac{8\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[3]{x^2}-1}\]

3. 3) (∛a³-∛b³)/(√a-√b) ⋅ (√(a/b) +1)

   Упрощаем первый множитель, используя формулу разности кубов:

   \[\frac{a-b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \cdot (\sqrt{\frac{a}{b}} + 1)\]

   Представим (a-b) как (√a-√b)(√a+√b):

   \[\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \cdot (\sqrt{\frac{a}{b}} + 1)\]

   Сокращаем (√a-√b):

   \[(\sqrt{a}+\sqrt{b}) \cdot (\sqrt{\frac{a}{b}} + 1)\]

   Раскрываем скобки:

   \[\sqrt{a} \cdot \sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{a} + \sqrt{b} \cdot \sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{b}\]

   Упрощаем:

   \[\frac{a}{\sqrt{b}} + \sqrt{a} + \frac{\sqrt{ab}}{b} + \sqrt{b}\]

4. 4) √a +27/(∛a-∛b) ⋅ ((∛a-3)/(√a -3∛a +9) - (∛ab-9)/(√a +27))

   Приведем к общему знаменателю выражение в скобках:

   \[\frac{\sqrt{a}+27}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}} \cdot \frac{(\sqrt[3]{a}-3)(\sqrt{a}+27) - (\sqrt[3]{ab}-9)(\sqrt{a}-3\sqrt[3]{a}+9)}{(\sqrt{a}-3\sqrt[3]{a}+9)(\sqrt{a}+27)}\]

   Дальнейшее упрощение требует аккуратного раскрытия скобок и приведения подобных членов.