17. Упростите числовое выражение \[\sqrt{27+10\sqrt{2}} + \sqrt{27-10\sqrt{2}}.\]

Ответ: 10

Решение:

Преобразуем каждое из подкоренных выражений, чтобы выделить полные квадраты:

\[27 + 10\sqrt{2} = 25 + 2 + 10\sqrt{2} = 5^2 + 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (5 + \sqrt{2})^2\] \[27 - 10\sqrt{2} = 25 + 2 - 10\sqrt{2} = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (5 - \sqrt{2})^2\]

Теперь упростим выражение:

\[\sqrt{(5 + \sqrt{2})^2} + \sqrt{(5 - \sqrt{2})^2} = |5 + \sqrt{2}| + |5 - \sqrt{2}| = 5 + \sqrt{2} + 5 - \sqrt{2} = 10\]

Ответ: 10