18.Из точки М к окружности с центром О проведены касательные МА и МВ. Найдите расстояние между точками касания А и В, если ∠AOB = 60° и МА = 1.

Ответ: 1

Решение:

Так как MA и MB - касательные к окружности, то углы \(\angle OAM\) и \(\angle OBM\) прямые (90°). Рассмотрим четырехугольник \(MAOB\).

Сумма углов в четырехугольнике равна 360°, поэтому

\[\angle AMB = 360^\circ - \angle OAM - \angle OBM - \angle AOB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 120^\circ\]

Рассмотрим треугольники \(\triangle OAM\) и \(\triangle OBM\). Они равны, так как OA = OB (радиусы окружности), OM - общая сторона, и углы \(\angle OAM = \angle OBM = 90^\circ\).

Тогда \(\angle AMO = \angle BMO = \frac{1}{2} \angle AMB = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ\).

В прямоугольном треугольнике \(\triangle OAM\):

\[\angle AOM = 90^\circ - \angle AMO = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\]

Теперь рассмотрим треугольник \(\triangle AOB\). Так как OA = OB, то этот треугольник равнобедренный. И так как \(\angle AOB = 60^\circ\), то и углы \(\angle OAB = \angle OBA = \frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ\). Значит, \(\triangle AOB\) - равносторонний.

Обозначим радиус окружности как r. Тогда OA = OB = r. По условию MA = 1.

В прямоугольном треугольнике \(\triangle OAM\): \[\tan(\angle AMO) = \frac{OA}{MA}\] \[\tan(60^\circ) = \frac{r}{1}\] \[\sqrt{3} = r\]

Так как \(\triangle AOB\) - равносторонний, то AB = OA = OB = r. Значит, AB = \(\sqrt{3}\).

\[\frac{OA}{MA} = \tan 60^\circ\] \[\frac{OA}{1} = \sqrt{3}\] \[OA = \sqrt{3}\]

Но если \(\angle AOB = 60^\circ\), то \(\triangle AOB\) – равносторонний, и \(AB = OA = OB\).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle OAM\): \[OA^2 + AM^2 = OM^2\] \[OA = AM \cdot \cot 30^\circ = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}\]

Ответ: 1