10. Какое наименьшее число рёбер придется пройти дважды, чтобы обойти все рёбра додекаэдра?

Додекаэдр имеет 20 вершин и 30 ребер. Каждая вершина додекаэдра является точкой схода трёх ребер. Чтобы обойти все рёбра додекаэдра, нужно пройти каждое ребро хотя бы один раз. Если мы хотим минимизировать количество рёбер, которые нужно пройти дважды, нужно минимизировать количество вершин, в которых сходятся нечётное число рёбер, пройденных дважды.

В додекаэдре 20 вершин. По теореме Эйлера, количество вершин с нечётной степенью всегда чётно. Чтобы обойти все ребра и вернуться в исходную вершину, мы должны продублировать некоторые ребра так, чтобы все вершины имели четную степень. Минимальное число ребер, которые нужно пройти дважды, равно количеству вершин с нечетной степенью, деленному на 2.

Так как все вершины имеют степень 3, то нужно продублировать ребра так, чтобы степени стали четными. Необходимо продублировать минимум 10 ребер.

Ответ: 10