Точки М и № лежат на стороне Ас треугольника АВС на расстояниях соответственно 9 и 32 от вершины А. Найдите радиус окружности, проходящей через точки М и / и касающейся луча АВ, если cos ∠BAC = 2√2 3

Пусть O - центр окружности, R - радиус окружности, M и N лежат на AC, AM = 9, AN = 32. Окружность касается AB в точке P.

По теореме о касательной и секущей: $$AP^2 = AM \cdot AN = 9 \cdot 32 = 288$$

$$AP = \sqrt{288} = 12\sqrt{2}$$

По теореме косинусов в треугольнике AMP:

$$MP^2 = AM^2 + AP^2 - 2 \cdot AM \cdot AP \cdot cos(\angle BAC)$$ $$MP^2 = 9^2 + (12\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 9 \cdot 12\sqrt{2} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}$$ $$MP^2 = 81 + 288 - 2 \cdot 9 \cdot 12 \cdot \frac{4}{3} = 369 - 288 = 81$$ $$MP = 9$$

По теореме синусов в треугольнике AMP:

$$\frac{MP}{sin(\angle BAC)} = 2R$$ $$sin^2(\angle BAC) + cos^2(\angle BAC) = 1$$ $$sin^2(\angle BAC) = 1 - cos^2(\angle BAC) = 1 - \left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)^2 = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$$ $$sin(\angle BAC) = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$$ $$2R = \frac{9}{\frac{1}{3}} = 27$$ $$R = \frac{27}{2} = 13.5$$

Ответ: 13.5