Биссектрисы углов А и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке К, лежащей на стороне ВС . Докажите, что К — середина ВС .

Доказательство:

Пусть ABCD - параллелограмм, AK и DK - биссектрисы углов A и D соответственно, K лежит на BC.

Так как AK - биссектриса угла A, то ∠BAK = ∠KAD. Так как BC || AD, то ∠BKA = ∠KAD (как накрест лежащие). Следовательно, ∠BAK = ∠BKA, а значит, треугольник ABK - равнобедренный, и AB = BK.

Аналогично, так как DK - биссектриса угла D, то ∠ADK = ∠KDC. Так как BC || AD, то ∠CKD = ∠ADK (как накрест лежащие). Следовательно, ∠CKD = ∠CDK, а значит, треугольник CDK - равнобедренный, и CD = CK.

Так как ABCD - параллелограмм, то AB = CD. Следовательно, BK = CK. Значит, K - середина BC.

Ответ: Что и требовалось доказать.