4) Точки А, В, С, расположенные на окружности, делят её на три дуги в отношении 2:9:25. Найти углы треугольника ABC.

Решение:

Пусть одна часть равна x, тогда дуги равны \(2x, 9x, 25x\). Сумма всех дуг равна 360°:

Дуги равны:

\(2 \cdot 10 = 20\)°

\(9 \cdot 10 = 90\)°

\(25 \cdot 10 = 250\)°

Угол, опирающийся на дугу в 20°: \(\frac{1}{2} \cdot 20^\circ = 10^\circ\)

Угол, опирающийся на дугу в 90°: \(\frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ\)

Угол, опирающийся на дугу в 250°: \(\frac{1}{2} \cdot 250^\circ = 125^\circ\)

Ответ: Углы треугольника АВС равны 10°, 45° и 125°.