12. Тип 10 № 11134 Найдите значение выражения \(\frac{x^3y - xy^3}{2(y - x)} - \frac{3(x - y)}{x^2 - y^2}\) при х = 4 и у = \(\frac{1}{4}\)

Ответ: -\(\frac{51}{17}\)

1. Упростим выражение:
   Показать пошаговое упрощение выражения

   Исходное выражение: \(\frac{x^3y - xy^3}{2(y - x)} - \frac{3(x - y)}{x^2 - y^2}\)
   Вынесем \(xy\) в числителе первой дроби: \(\frac{xy(x^2 - y^2)}{2(y - x)} - \frac{3(x - y)}{x^2 - y^2}\)
   Разложим \(x^2 - y^2\) как разность квадратов: \(\frac{xy(x - y)(x + y)}{2(y - x)} - \frac{3(x - y)}{(x - y)(x + y)}\)
   Заменим \((x - y)\) на \(-(y - x)\) в первой дроби: \(\frac{-xy(y - x)(x + y)}{2(y - x)} - \frac{3(x - y)}{(x - y)(x + y)}\)
   Сократим \((y - x)\) в первой дроби и \((x-y)\) во второй дроби: \(\frac{-xy(x + y)}{2} - \frac{3}{x + y}\)
   Приведем к общему знаменателю: \(\frac{-xy(x + y)^2 - 6}{2(x + y)}\)
   Раскроем скобки в числителе: \(\frac{-xy(x^2 + 2xy + y^2) - 6}{2(x + y)}\)
   Упростим числитель: \(\frac{-x^3y - 2x^2y^2 - xy^3 - 6}{2(x + y)}\)
2. Подставим значения \(x = 4\) и \(y = \frac{1}{4}\) в упрощенное выражение:
   Показать подстановку значений

   \(\frac{-(4)^3(\frac{1}{4}) - 2(4)^2(\frac{1}{4})^2 - (4)(\frac{1}{4})^3 - 6}{2(4 + \frac{1}{4})}\)
   Упростим: \(\frac{-16 - \frac{1}{2} - \frac{1}{16} - 6}{2(\frac{17}{4})}\)
   \(\frac{-\frac{352}{16} - \frac{8}{16} - \frac{1}{16} - \frac{96}{16}}{\frac{17}{2}}\)
   \(\frac{-\frac{457}{16}}{\frac{17}{2}}\)
3. Выполним деление:
   Показать деление дробей

   \(-\frac{457}{16} \times \frac{2}{17}\)
   \(-\frac{457 \times 2}{16 \times 17}\)
   \(-\frac{457}{8 \times 17}\)
4. Вычислим:
   Финальный результат

   \(-\frac{457}{136}\) или -\(3 \frac{49}{136}\). В десятичном виде это приблизительно -3.36. Так как в условии требуется упростить, оставим дробь.

Ответ: -\(\frac{457}{136}\)