18. Тип 18 № 4013 В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны, ∠ACB = 75°. На стороне ВС взяли точки Х и У так, что точка Х лежит между точками В и Ү, АХ = ВХ и ∠BAX = ∠YAX. Найдите длину отрезка АY, если АХ = 20.

Решение:

Т.к. стороны AB и BC равны, треугольник ABC равнобедренный. Значит, углы при основании AC равны: ∠BAC = ∠BCA = 75°.

∠ABC = 180° - 75° - 75° = 30°

Т.к. AX = BX, то треугольник ABX - равнобедренный. ∠BAX = ∠ABX = α. 2α + ∠AXB = 180°

∠BAX = ∠YAX = α

∠XAC = ∠BAC - ∠BAX = 75° - α

∠CAY = ∠XAC - ∠XAY = 75° - α - α = 75° - 2α

∠ABX = 30°, значит, ∠BAX = (180 - 30) / 2 = 75°

Получается α = 75°

Рассмотрим треугольник ABX: так как AX = BX = 20, ∠BAX = α.

Рассмотрим треугольник AYX. ∠YAX = α.

Так как ∠BAX = ∠YAX, то AY - биссектриса ∠BAC.

К сожалению, для дальнейшего решения не хватает данных.

Нужны дополнительные сведения о расположении точек X и Y.