11. Тип 11 № 643 i В трапеции АВСD основание AD вдвое больше основания ВС и вдвое больше боковой стороны CD. Угол ADC равен 60°, сторона АВ равна 1. Найдите площадь трапеции. Результат умножьте на 4√3.

Обозначим BC = x, тогда AD = 2x и CD = x.

Проведём высоту CH из вершины C. Рассмотрим треугольник CHD.

Угол ADC = 60°, следовательно, угол DCH = 30°.

В прямоугольном треугольнике CHD катет CH лежит против угла 30°, поэтому CH = CD / 2 = x/2.

HD = CD * cos(60°) = x * (√3 / 2) = (x√3) / 2.

Так как AD = BC + 2HD, получаем 2x = x + x√3, откуда x = 1 / √3.

Тогда BC = 1 / √3, AD = 2 / √3, CD = 1 / √3, CH = 1 / (2√3).

Площадь трапеции ABCD равна (BC + AD) / 2 * CH = (1 / √3 + 2 / √3) / 2 * (1 / (2√3)) = (3 / √3) / 2 * (1 / (2√3)) = (3 / √3) * (1 / (4√3)) = 3 / (4 * 3) = 1 / 4.

Умножаем результат на 4√3: (1/4) * 4√3 = √3.