14. Тип 14 № 113 i Решите рациональное неравенство ≤0.

Решим рациональное неравенство:

Выражение (x² - 4x + 4) / (x² - 1) ≤ 0 можно переписать как ((x - 2)² / ((x - 1)(x + 1))) ≤ 0.

1. Найдем нули числителя и знаменателя:

(x - 2)² = 0 → x = 2

(x - 1)(x + 1) = 0 → x = 1, x = -1

2. Отметим точки на числовой прямой и определим знаки на интервалах:

-∞ -1 1 2 +∞

x < -1: ((x - 2)² / ((x - 1)(x + 1))) > 0 (например, при x = -2: ((-2 - 2)² / ((-2 - 1)(-2 + 1))) = (16 / (3)) > 0)

-1 < x < 1: ((x - 2)² / ((x - 1)(x + 1))) < 0 (например, при x = 0: ((0 - 2)² / ((0 - 1)(0 + 1))) = (4 / (-1)) < 0)

1 < x < 2: ((x - 2)² / ((x - 1)(x + 1))) > 0 (например, при x = 1.5: ((1.5 - 2)² / ((1.5 - 1)(1.5 + 1))) = (0.25 / (0.5 * 2.5)) > 0)

x > 2: ((x - 2)² / ((x - 1)(x + 1))) > 0 (например, при x = 3: ((3 - 2)² / ((3 - 1)(3 + 1))) = (1 / (2 * 4)) > 0)

3. Учитываем знак неравенства ≤ 0:

x ∈ (-1; 1)

Также нужно учесть точку x = 2, так как в ней числитель равен 0, и неравенство выполняется.