10. Тип 8 № 412211 i Найдите значение выражения \(\frac{a^{23} \cdot (b^5)^4}{(a \cdot b)^{20}}\) при а = 2 и b = \(\sqrt{2}\).

Найдем значение выражения \(\frac{a^{23} \cdot (b^5)^4}{(a \cdot b)^{20}}\) при \(a = 2\) и \(b = \sqrt{2}\).

Сначала упростим выражение, используя свойство степени степени \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\):

$$\frac{a^{23} \cdot (b^5)^4}{(a \cdot b)^{20}} = \frac{a^{23} \cdot b^{5 \cdot 4}}{(a \cdot b)^{20}} = \frac{a^{23} \cdot b^{20}}{(a \cdot b)^{20}}$$

Запишем дробь в виде произведения:

$$\frac{a^{23} \cdot b^{20}}{(a \cdot b)^{20}} = \frac{a^{23}}{a^{20}} \cdot \frac{b^{20}}{b^{20}} = a^{23-20} \cdot b^{20-20} = a^3 \cdot 1 = a^3$$

Заменим \(a\) на 2:

$$a^3 = 2^3 = 8$$

Ответ: 8