589. Синус острого угла прямоугольного треугольника равен $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс второго острого угла этого треугольника.

Пусть один острый угол треугольника равен $$\alpha$$, а другой равен $$\beta$$. Тогда $$\alpha + \beta = 90^{\circ}$$, значит $$\beta = 90^{\circ} - \alpha$$.

Известно, что $$sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$$. Найдем синус, косинус, тангенс и котангенс угла $$\beta$$:

$$sin \beta = sin (90^{\circ} - \alpha) = cos \alpha$$.

$$cos \alpha = \sqrt{1 - sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{3}{9}} = \sqrt{1 - \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$$.

$$sin \beta = cos \alpha = \frac{\sqrt{6}}{3}$$.

$$cos \beta = cos (90^{\circ} - \alpha) = sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$$.

$$tg \beta = \frac{sin \beta}{cos \beta} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{2}$$.

$$ctg \beta = \frac{1}{tg \beta} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$.

Ответ: $$sin \beta = \frac{\sqrt{6}}{3}$$, $$cos \beta = \frac{\sqrt{3}}{3}$$, $$tg \beta = \sqrt{2}$$, $$ctg \beta = \frac{\sqrt{2}}{2}$$.