587. Найдите $$sin \alpha$$, $$tg \alpha$$ и $$ctg \alpha$$, если $$cos \alpha = \frac{1}{3}$$.

Используем основное тригонометрическое тождество: $$sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$$.

$$sin^2 \alpha = 1 - cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$$.

Так как $$\alpha$$ - острый угол, то $$sin \alpha > 0$$, поэтому $$sin \alpha = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$.

Теперь найдем $$tg \alpha$$ и $$ctg \alpha$$:

$$tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = \frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{3}{1} = 2\sqrt{2}$$.

$$ctg \alpha = \frac{1}{tg \alpha} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$$.

Ответ: $$sin \alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$, $$tg \alpha = 2\sqrt{2}$$, $$ctg \alpha = \frac{\sqrt{2}}{4}$$.